Κυριακή, 3 Απριλίου 2011

Για τον Αστροναύτη

Οι “πρώτοι” αριθμοί μοιάζουν πολλοί απλοί, με την πρώτη ματιά. Είναι αυτοί οι αριθμοί όπως ο 2,3,5,7 κ.α. που είναι διαιρετοί μόνο με το 1 και τους εαυτούς τους, αν και ο 1 δεν συμπεριλαμβάνεται σε αυτούς. Οι “πρώτοι” αριθμοί είναι τα άτομα του αριθμητικού συστήματος, διότι καθένας άλλος αριθμός μπορεί να κατασκευαστεί πολλαπλασιάζοντας τους “πρώτους” μεταξύ τους. Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας για αυτούς τους αριθμούς – αυτοί είναι τρελά απρόβλεπτοι.
Ενώ είναι δυνατόν, να προβλέψεις με μάλλον καλή ακρίβεια το πλήθος των "πρώτων" αριθμών, από την άλλη η κατανομή των "πρώτων" αριθμών σε μικρά διαστήματα δείχνει ένα είδος ενυπάρχουσας τυχαιότητας. Αυτός ο συνδυασμός της "τύχης" με την "πρόβλεψη" αποφέρει στην ίδια στιγμή τακτική διευθέτηση και ένα στοιχείο έκπληξης στην κατανομή των "πρώτων". Σύμφωνα με τον Schroeder

Στα μέσα του 19ου αιώνα ο μαθηματικός Β. Riemann έμελλε να κάνει μία μαθηματική υπόθεση που, ενώ φαίνεται να επαληθεύεται συνεχώς από τότε, ωστόσο κανείς δεν την έχει αποδείξει ακόμα. Κι ακόμα χειρότερα, η θεωρία αριθμών είναι γεμάτη από αποδείξεις που ξεκινάνε από την φράση: “αν η υπόθεση του Riemann είναι σωστή τότε…”. Αυτό σημαίνει ότι ένας μεγάλος αριθμός θεωρημάτων έχει στηριχτεί σε μία υπόθεση που δεν μπορεί ακόμα να επιλυθεί μετά από τόσο καιρό.

Η υπόθεση Riemann έχει να κάνει με αυτό που έγινε αργότερα γνωστό ως “ζήτα” συνάρτηση του Riemann. Αυτή η “ζήτα” συνάρτηση λειτουργεί έτσι ώστε όταν την τροφοδοτείς με αριθμούς από το ένα μέρος της σου εξάγει “μηδενικά”. Σε αυτήν την συνάρτηση, τα “μηδενικά” βρίσκονται όλα, σε μία γραφική παράσταση, σε μία ευθεία γραμμή. Λόγω της πολύ εξειδικευμένης μαθηματικής διατύπωσης αυτής της συνάρτησης δεν θα την εξηγήσουμε πως. Η υπόθεση Riemann μας δείχνει ότι αν και οι “πρώτοι” αριθμοί είναι απρόβλεπτοι και τυχαίοι, επειδή δεν υπάρχει κάποια εξίσωση που να μας δείχνει πώς παράγονται, παρόλα αυτά το πλήθος τους, παραδόξως, κατανέμεται με αρμονικό τρόπο όπως μας δείχνει η “ζήτα” συνάρτηση του Riemann.
Αυτό που έχει κάνει την “ζήτα” συνάρτηση του Riemann τόσο διάσημη είναι ότι συνδέει τους πρώτους αριθμούς με νέες επιστήμες όπως του Χάους και των Κβάντα
Η θεωρία του Χάους εφαρμόζεται σε φυσικά συστήματα τόσο ευαίσθητα ως προς τις αρχικές τους συνθήκες που είναι αδύνατον να κάνεις προβλέψεις. Στην χαοτική ατμόσφαιρα της Γης, για παράδειγμα, η μικρή δίνη που προκαλεί το πέταγμα μιας πεταλούδας μπορεί να οδηγήσει σε μια τρομερή καταιγίδα. Σχεδόν όλα τα πολύπλοκα συστήματα είναι χαοτικά.
Τι σχέση έχει πραγματικά η υπόθεση Riemann με το Κβαντικό Χάος; Η απάντηση βρίσκεται στους δύο τρόπους θεώρησης της "ζήτα" συνάρτησης. Η εξίσωση Riemann είναι μια αρχική φόρμουλα. Οι Φυσικοί νομίζουν ότι είναι η "μητέρα" όλων των τύπων του κβαντικού Χάους. Πιστεύουν ότι τα "μηδενικά" της "ζήτα" συνάρτησης μπορούν να ερμηνευτούν ως ενεργειακά επίπεδα στην κβαντική εκδοχή κάποιων κλασικών χαοτικών συστημάτων. Αν αυτοί έχουν δίκαιο τότε η υπόθεση Riemann είναι ορθή.
Οι πρώτοι αριθμοί είναι "μουσική" για τον Michael Berry. O Michael Berry, ένας θεωρητικός φυσικός στο πανεπιστήμιο του Bristol, είναι από τους κορυφαίους στην μελέτη του κβαντικού χάους. Και αυτό τον έκανε να εκτιμήσει πολύ την "ζήτα συνάρτηση" του Riemann.

Ο Michael Berry και ο συνεργάτης του Jonathan Keating έχουν κάνει μία υπόθεση. Σε ένα χαοτικό σύστημα, ένα αντικείμενο συνήθως κινείται απρόβλεπτα, αλλά μερικές φορές η πορεία του θα επανακυκλωθεί στο εαυτό της σε μια “περιοδική τροχιά”. Αυτοί οι δύο επιστήμονες πιστεύουν ότι το σωστό χαοτικό σύστημα θα έχει μία άπειρη συλλογή από περιοδικές τροχιές, μία για κάθε “πρώτο” αριθμό. Αυτό το σύστημα θα είχε επιπλέον ένα είδος συμμετρίας που ονομάζεται “συμπλεκτική συμμετρία”.
Οι "πρώτοι" αριθμοί μοιάζουν περισσότερο με μουσικές συγχορδίες, υποστηρίζει ο Berry. Μια συγχορδία είναι ένας συνδυασμός από νότες που παίζονται ταυτόχρονα. Κάθε νότα αποτελεί μια συγκεκριμένη συχνότητα ήχου δημιουργημένη από μια διαδικασία συντονισμού σε ένα φυσικό σύστημα, για παράδειγμα σε ένα σαξόφωνο. Οι νότες μπορούν να δημιουργήσουν μια ευρεία ποικιλία από μουσική, καθετί από Σοπέν, έως τις Spice Girls. Στην θεωρία των αριθμών, τα "μηδενικά" από την "ζήτα" συνάρτηση είναι νότες, οι "πρώτοι" αριθμοί είναι οι συγχορδίες και τα θεωρήματα είναι οι συμφωνίες.
Αποδεικνύοντας την υπόθεση Riemann δεν θα τελειώσει η ιστορία. Θα ανακύψει μια σειρά ερωτημάτων ακόμη πιο σκληρών και πιο βασανιστικών ερωτημάτων. Γιατί οι "πρώτοι" αριθμοί επιτυγχάνουν μια τέτοια εκλεπτυσμένη ισορροπία μεταξύ τύχης και τάξης; Και αν τα πρότυπά τους ενσωματώνουν και κωδικοποιούν την συμπεριφορά των χαοτικών συστημάτων, ποια άλλα "πολύτιμα πετράδια" θα ανακαλύψουμε όταν εισχωρήσουμε βαθύτερα στην φύση τους;
Το 31 είναι πρώτος αριθμός
Το 331 είναι πρώτος αριθμός
Το 3331 είναι πρώτος αριθμός
Το 33331 είναι πρώτος αριθμός
Το 333331 είναι πρώτος αριθμός
Το 3333331 είναι πρώτος αριθμός
Το 33333331 είναι πρώτος αριθμός
Το 333333331 είναι πρώτος αριθμός?

2 σχόλια:

  1. ευχαριστώ ρε!

    για μένα οι πρώτοι αριθμοί είναι η γοητεία των μαθηματικών. η μη προβλεψιμότητά τους μου θυμίζει τη ζωή μας, όπου 1+1 δεν κάνει πάντα 2...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. εξαιρετική ανάρτηση.

    θα τη μοιραστώ με τον Αστροναύτη :)

    είναι πολύ ενδιαφέρουσα η συνάρτηση των μαθηματικών με τις κοινωνικές και πολιτικές επιστήμες!

    ιδιαίτερα η υπόθεση για ισορροπία μεταξύ τύχης και τάξης. συνήθως αυτή η ισορροπία δεν μελετάται ή αγνοείται παντελώς με αποτέλεσμα να "απολυτοποιούμε" είτε την πανσοφία της τύχης (νεοφιλελευθερισμός και αναρχία) είτε την αναγκαιότητα του απολυταρχικού φασισμού.

    ΑπάντησηΔιαγραφή